Divisibilité par 3

Énoncé

Soit \(N \in \mathbb{Z}\) qui s'écrit en base \(10\) : \(N=\overline{a_na_{n-1}...a_2a_1a_0}\)
autrement dit : \(N=a_n \times 10^n+a_{n-1} \times 10^{n-1}+...+a_2 \times 10^2+a_1 \times 10^1+a_0\)  
avec `a_n, a_{n-1}, ..., a_2, a_1, a_0` compris entre  \(0\) et \(9\) , et \(a_n \neq 0\) .

1. Quel est le reste dans la division euclidienne de \(10\)  par \(3\) ? de \(100\)  par \(3\) ? et de \(1000\) par \(3\) ?

2. Déterminer le reste possible dans la division euclidienne de \(10^n\) par \(3\) pour \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

3. Montrer que \(N \equiv a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \ [3]\) .

4. En déduire un critère de divisibilité par \(3\) .